第002回問題

実数xに対してxを超えない最大の整数を[x]で表すことがあります。この記号は、ガウスの記号と呼ばれることがあります。ガウスの記号が出てくる問題は大学受験でみかけることがありますが、不等式ではさんで解かないといけなので早く等式に持ち込みたいのになかなかできなかったりして、見るとやっかいだなと思う人もいるかもしれません。しかし、ガウス記号を使うと美しく表記できる定理や法則があり、例えば次のような式(エルミートの恒等式)が知られています。
\[\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} [a+\frac{k}{n}] = [na]\]

今回は、ガウス記号と似ている小数部分を表す関数の問題です。定石としては整数部分を考えてその候補を絞り、等式に持ち込みます。

関数$f(x)$は実数$x$に対してその小数部分を表すものとする。例えば$f(1.25)=0.25,f(\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$ である。 $f((x+1)^3) =x^3$を満たす実数$x$を全て求めよ。

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